ESTADISTICA: MEDICION Y PARAMETROS-ESTIMACIO-ALEATORIO-SUCESOS-DISTRIBUCION.

ESTADÍSTICA:

ESTOS  DATOS  FUERON TOMADOS  PARA SERVIR  DE  REFERENCIAS   POSEEN   SUS  REFERENCIAS  BIBLIOGRÁFICAS.

MEDICION    Y  PARAMETROS

En estadística, un parámetro es un número que resume la gran cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística. El cálculo de este número está bien definido, usualmente mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la población. Los parámetros estadísticos son una consecuencia inevitable del propósito esencial de la estadística: crear un modelo de la realidad.

Un parámetro estadístico es una medida poblacional. Este enfoque es el tradicional de la estadística descriptiva.  En este sentido, su acepción se acerca a la de medida o valor que se compara con otros, tomando una unidad de una determinada magnitud como referencia.

Medidas de posición.

Se trata de valores de la variable estadística que se caracterizan por la posición que ocupan dentro del rango de valores posibles de esta. Entre ellos se distinguen:

·         Las medidas de tendencia central: medias, moda y mediana.

·         Las medidas de posición no central: cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles).

Medidas de dispersión.

Resumen la heterogeneidad de los datos, lo separados que estos están entre sí. Hay dos tipos, básicamente:

·         Medidas de dispersión absolutas, que vienen dadas en las mismas unidades en las que se mide la variable: recorridos, desviaciones medias, varianza, y desviación típica.

·         Medidas de dispersión relativa, que informan de la dispersión en términos relativos, como un porcentaje. Se incluyen entre estas el coeficiente de variación, el coeficiente de apertura, los recorridos relativos y el índice de desviación respecto de la mediana.

Medidas de forma.

Su valor informa sobre el aspecto que tiene la gráfica de la distribución. Entre ellas están los coeficientes de asimetría y los de curtosis.

Otros parámetros.

Además, y con propósitos más específicos, existen otros parámetros de uso en situaciones muy concretas, como son las proporciones, los números índice, las tasas y el coeficiente de Gini.

Medidas de tendencia central o centralización

Artículo principal: Medidas de tendencia central

Son valores que suelen situarse cerca del centro de la distribución de datos. Los más destacados son las medias o promedios (incluyendo la media aritmética, la media geométrica y la media armónica), la mediana y la moda.

Media aritmética o promedio[editar]

La estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) o heterogénea (arriba).

Artículo principal: Media aritmética

La media muestral o media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.¹²​ Sus propiedades son:¹³​

·         Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

·         Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}}{n}}={\overline {x}}-{\overline {x}}=0}

·         Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-k)^{2}}{n}}}  es mínimo cuando {\displaystyle k={\overline {x}}} . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

·         Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

{\displaystyle x_{i}'=ax_{i}+b} entonces {\displaystyle {\overline {x'}}=a{\overline {x}}+b} , donde {\displaystyle {\overline {x'}}}  es la media aritmética de los {\displaystyle x_{i}'} , para i = 1, ..., n y a y b números reales.

Este parámetro, aun teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

·        Para datos agrupados en intervalos (variables continuas), su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

·        Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos son los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.¹⁴​ Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95, pongamos por caso, tendría una estatura media de 1,95, evidentemente, valor que representa fielmente a esta homogénea población. Sin embargo, un equipo de estaturas más heterogéneas, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 y 1,70, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

·        Es muy sensible a los valores extremos de la variable. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de una empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de mil empleados "normales" que ganen 1.000 €, siendo la media de aproximadamente 2.000 €.

Moda

Artículo principal: Moda (estadística)

La moda es el dato más repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.¹⁵​ En cierto sentido se corresponde su definición matemática con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita de un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Sus principales propiedades son:

·        Cálculo sencillo.

·        Interpretación muy clara.

·        Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".¹⁶​

Inconvenientes:

·        Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.

·        Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.

·        No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.

·        Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).

Mediana

Artículo principal: Mediana (estadística)

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que estos están ordenados de menor a mayor.¹⁷​ Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

{\displaystyle \underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Mitad\;inferior}\;\underbrace {\color {Red}2,} _{Mediana\;}\;\underbrace {2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Mitad\;superior}}En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los anteriores: {\displaystyle \underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Valores\;inferiores}\;\underbrace {\color {Red}1,\ 2,} _{Valores\;intermedios}\;\underbrace {2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Valores\;superiores}}Se toma como mediana {\displaystyle 1,5={\frac {{\color {Red}1}+{\color {Red}2}}{2}}}

En este ejemplo basado en una tabla real de percentiles usada en pediatría, puede comprobarse que una niña de 24 meses con un peso de 13 kg estaría en el percentil 75º, esto es, su peso es superior al 75% de las niñas de su edad. La mediana correspondería, aproximadamente, a 12 kg (intersección de la línea curva más oscura con la línea horizontal correspondiente al valor 12 en el eje vertical, para esa misma edad).

Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más numerosos (véase el artículo principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de este, se obtiene un valor concreto por interpolación.

Propiedades de la mediana como parámetro estadístico:¹⁸​

·         Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.

·         Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.

·         No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.

Medidas de posición no central

Artículo principal: Medidas de posición no central

Directamente relacionados con la anterior, se encuentran las medidas de posición no central, también conocidas como cuantiles. Se trata de valores de la variable estadística que dejan por debajo de sí determinada cantidad de los datos. Son, en definitiva, una generalización del concepto de la mediana. Mientras que ésta deja por debajo de sí al 50% de la distribución, los cuantiles pueden hacerlo con cualquier otro porcentaje.¹⁹​ Se denominan medidas de posición porque informan, precisamente, de la posición que ocupa un valor dentro de la distribución de datos.

Tradicionalmente se distingue entre cuartiles, si se divide la cantidad de datos en cuatro partes antes de proceder al cálculo de los valores que ocupan cada posición; deciles, si se divide los datos en diez partes; o percentiles, que dividen la población en cien partes.

Ejemplos: si se dice que una persona, tras un test de inteligencia, ocupa el percentil 75, ello supone que el 75% de la población tiene un cociente intelectual con un valor inferior al de esa persona. Este criterio se usa por las asociaciones de superdotados, que limitan su conjunto de miembros a aquellas que alcanzan determinado percentil (igual o superior a 98 en la mayoría de los casos).

El ejemplo que se muestra en la imagen de la derecha es el correspondiente al cálculo inverso, esto es, cuando se desea conocer el percentil correspondiente a un valor de la variable, en lugar del valor que corresponde a un determinado percentil.

Otras medidas de posición central son la media geométrica y la media armónica que, aunque tienen determinadas propiedades algebraicas que podrían hacerlas útiles en determinadas circunstancias, su interpretación no es tan intuitiva como la de los parámetros anteriores.

Comentarios sobre las medidas de posición[editar]

Este tipo de parámetros no tienen por qué coincidir con un valor exacto de la variable y, por tanto, tampoco pueden usarse con carácter general para hacer pronósticos. Por ejemplo, si se dice que la media aritmética de los hijos de las familias de un país es de 1,2, no es posible encontrar familias con ese valor en concreto. Un segundo ejemplo: a ninguna fábrica de zapatos se le ocurriría fabricar los suyos con tallas únicamente correspondientes al valor promedio, ni siquiera tienen por qué ser estas tallas las más fabricadas, pues en tal caso sería más apropiado atender a la moda de la distribución de tallas de los eventuales clientes.

La elección de uno u otro parámetro dependerá de cada caso particular, de los valores de la variable y de los propósitos del estudio. Su uso indiscriminado puede ser deliberadamente tendencioso o involuntariamente sesgado, convirtiéndose, de hecho, en un abuso.²¹​ Puede pensarse, por ejemplo, en la siguiente situación: un empresario publica que el salario medio en su empresa es de 1.600 €. A este dato, que en determinadas circunstancias podría considerarse muy bueno, podría llegarse si la empresa tuviese cuatro empleados con salarios de 1.000 € mensuales y el salario del jefe, incluido en la media, fuese de 4.000 € al mes:²²​

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1000+1000+1000+1000+4000}{5}}=1600}

Con carácter general y a modo de resumen podría decirse que la media aritmética es un parámetro representativo cuando la población sigue una distribución normal o es bastante homogénea; en otras situaciones de fuerte dispersión, habría que decantarse por la mediana. La moda es el último recurso (y el único) cuando de describir variables cualitativas se trata.

Medidas de dispersión

Artículo principal: Dispersión (matemática)

Diagrama de caja que muestra la dispersión gráficamente, usando los cuartiles como referencia. Entre Q₁ y Q₃ (rango intercuartílico) se encuentran el 50% de las observaciones.

Las medidas de posición resumen la distribución de datos, pero resultan insuficientes y simplifican excesivamente la información. Estas medidas adquieren verdadero significado cuando van acompañadas de otras que informen sobre la heterogeneidad de los datos. Los parámetros de dispersión miden eso precisamente, generalmente, calculando en qué medida los datos se agrupan en torno a un valor central. Indican, de un modo bien definido, lo homogéneos que estos datos son. Hay medidas de dispersión absolutas, entre las cuales se encuentran la varianza, la desviación típicao la desviación media, aunque también existen otras menos utilizadas como los recorridos o la meda; y medidas de dispersión relativas, como el coeficiente de variación, el coeficiente de apertura o los recorridos relativos. En muchas ocasiones las medidas de dispersión se ofrecen acompañando a un parámetro de posición central para indicar en qué medida los datos se agrupan en torno de él.

Medidas de dispersión absolutas

Recorridos

El recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el mayor y el menor valor que toma la misma. Es la medida de dispersión más sencilla de calcular, aunque es algo burda porque sólo toma en consideración un par de observaciones. Basta con que uno de estos dos datos varíe para que el parámetro también lo haga, aunque el resto de la distribución siga siendo, esencialmente, la misma.

Existen otros parámetros dentro de esta categoría, como los recorridos o rangos intercuantílicos, que tienen en cuenta más datos y, por tanto, permiten afinar en la dispersión. Entre los más usados está el rango intercuartílico, que se define como la diferencia entre el cuartil tercero y el cuartil primero. En ese rango están, por la propia definición de los cuartiles, el 50% de las observaciones. Este tipo de medidas también se usa para determinar valores atípicos. En el diagrama de caja que aparece a la derecha se marcan como valores atípicos todos aquellos que caen fuera del intervalo [L_i, L_s] = [Q₁ - 1,5·R_s, Q₃+ 1,5·R_s], donde Q₁ y Q₃ son los cuartiles 1º y 3º, respectivamente, y R_s representa la mitad del recorrido o rango intercuartílico, también conocido como recorrido semiintercuartílico.²⁴​

Desviaciones medias

Artículo principal: Desviación media

Dada una variable estadística X y un parámetro de tendencia central, c, se llama desviación de un valor de la variable, x_i, respecto de c, al número |x_i - c|. Este número mide lo lejos que está cada dato del valor central c, por lo que una media de esas medidas podría resumir el conjunto de desviaciones de todos los datos.

Así pues, se denomina desviación media de la variable X respecto de c a la media aritmética de las desviaciones de los valores de la variable respecto de c, esto es, si {\displaystyle X={x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n}},}entonces {\displaystyle DM_{c}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|}{n}}}

De este modo se definen la desviación media respecto de la media (c = {\displaystyle {\overline {x}}} ) o la desviación media respecto de la mediana (c = {\displaystyle {\overline {Me}}} ), cuya interpretación es sencilla en virtud del significado de la media aritmética.

Sin embargo, el uso de valores absolutos impide determinados cálculos algebraicos que obligan a desechar estos parámetros, a pesar de su clara interpretación, en favor de los siguientes.

Varianza y desviación típica

Artículo principal: Varianza

Conjunto de datos estadísticos de media aritmética 50 (línea azul) y desviación típica 20 (líneas rojas).

Como se vio más arriba, la suma de todas las desviaciones respecto al parámetro más utilizado, la media aritmética, es cero. Por tanto si se desea una medida de la dispersión sin los inconvenientes para el cálculo que tienen las desviaciones medias, una solución es elevar al cuadrado tales desviaciones antes de calcular el promedio. Así, se define la varianza como:

{\displaystyle {\sigma ^{2}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}} ,

o sea, la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media.

La desviación típica, σ, se define como la raíz cuadrada de la varianza, esto es,

{\displaystyle {\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}}}}

Para variables agrupadas en intervalos, se usan las marcas de clase (un valor apropiado del interior de cada intervalo) en estos cálculos.

Propiedades:

·         Ambos parámetros no se alteran con los cambios de origen.

·         Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante, b, la varianza queda multiplicada por b².

·         En el intervalo {\displaystyle ({\overline {x}}-k\sigma ,\,{\overline {x}}+k\sigma )}  se encuentran, al menos, el {\displaystyle 100(1-{\frac {1}{k^{2}}})\%}  de las observaciones (véaseDesigualdad de Tchebyschev).

Esta última propiedad muestra la potencia del uso conjunto de la media y la desviación típica como parámetros estadísticos, ya que para valores de k iguales a 2 y 3, respectivamente, se obtiene que:

·         En el intervalo {\displaystyle ({\overline {x}}-2\sigma ,\,{\overline {x}}+2\sigma )}  están, al menos, el 75% de los datos.

·         En el intervalo {\displaystyle ({\overline {x}}-3\sigma ,\,{\overline {x}}+3\sigma )}  están, al menos, el 89% de los datos.

Se cumple la siguiente relación entre los parámetros de dispersión:

{\displaystyle D_{Me}\leq D_{\overline {x}}\leq \sigma }donde {\displaystyle D_{Me},\,D_{\overline {x}}}, y {\displaystyle \sigma }son, respectivamente, la desviación media respecto de la mediana, la desviación media respecto de la media y la desviación típica (véase Desviación media).

La media. Es una medida de dispersión que tiene, por su propia definición, las mismas propiedades que la mediana. Por ejemplo, no se ve afectada por valores extremos o atípicos.²⁷​

Medidas de dispersión relativa

Son parámetros que miden la dispersión en términos relativos, un porcentaje o una proporción, por ejemplo, de modo que permiten una sencilla comparación entre la dispersión de distintas distribuciones.²⁸​

Coeficiente de variación de Pearson

Artículo principal: Coeficiente de variación

Se define como {\displaystyle C_{V}={\frac {\sigma }{\bar {x}}}}, donde σ es la desviación típica y {\displaystyle {\bar {x}}} es la media aritmética.

Se interpreta como el número de veces que la media está contenida en la desviación típica. Suele darse su valor en tanto por ciento, multiplicando el resultado anterior por 100. De este modo se obtiene un porcentaje de la variabilidad.

Su principal inconveniente es que en el caso de distribuciones cuya media se acerca a cero, su valor tiende a infinito e incluso resulta imposible de calcular cuando la media es cero. Por ello no puede usarse para variables tipificadas. Coeficiente de apertura Se define como el cociente entre los valores extremos de la distribución de datos, esto es, dada una distribución de datos estadísticos x₁, x₂, ..., x_n, su coeficiente de apertura, C_A es {\displaystyle C_{A}={\frac {m{\acute {a}}x(x_{i})}{m{\acute {\imath }}n(x_{i})}},\;i=1,...,n}

Se usa para comparar salarios de empresas.

REFERENCIAS  BIBLIOGRAFICAS:

2008). «Parámetros estadísticos». Ditutor, Diccionario de Matemáticas. Consultado el 19 de abril de 2009.

Volver arriba↑ Serret Moreno-Gil, Jaime (1998). «4. Parámetros Estadísticos». Procedimientos estadísticos. ESIC. p. 71. ISBN 8473561716. Consultado el 19 de abril de 2009.

Volver arriba↑ Pascual, José; Galbiati, José; González, Gladys; Maulén, Mª Angélica; Arancibia, Rodrigo. «Conceptos básicos: Modelo». Exploración de datos: Introducción a la Estadística Descriptiva. Diseñadora: Galbiati, Paola. Instituto de Estadística. Universidad Católica de Valparaíso. Archivado desde el original el 10 de abril de 2009. Consultado el 16 de abril de 2009.

Volver arriba↑ «Parámetro estadístico». Enciclopedia Microsoft® Encarta® Online 200Microsoft Corporation. 2009. Archivado desde el original el 1 de abril de 2009. Consultado el 19 de abril de 2009. «Parámetro estadístico, número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística y que sirve para sintetizar alg

ESTIMACION:

ESTIMACIÓN Una estimación estadística es un proceso mediante el que establecemos que valor debe tener un parámetro según deducciones que reali- zamos. Estimar es establecer conclusiones sobre características poblacionales a partir de resultados muestrales. DEFINICIONES:

TIPOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL POR INTERVAL

ESTIMACIÓN PUNTUAL vESTIMADOR: ES UNA REGLA QUE ESTABLECE COMO CALCULAR UNA ESTIMACIÓN BASADA EN LAS MEDICIONES CONTENIDAS EN UNA MUESTRA ESTADÍSTICA. ES UN NÚMERO QUE SE UTILIZA PARA APROXIMAR EL VERDADERO VALOR DE UN PARÁMETRO POBLACIONAL. CONSISTE EN LA ESTIMACIÓN DEL VALOR DEL PARÁMETRO MEDIANTE UN SOLO VALOR , OBTENIDO DE UNA FÓRMULA DETERMINADA.

PROPIEDADES PARA QUE UN ESTIMADOR PUNTUAL SEA UN BUEN ESTIMADOR DEFINICIÓN: Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador x ya que µ x = µ y con estimador p´ ya que µ p′ = P En caso contrario , se dice que es estimador sesgado.

DEFINICIÓN: Si hay dos o más estimadores puntuales insesgados de un parámetro se denomina estimador más eficiente del parámetro al estimador que tenga menor varianza. DEFINICIÓN: Mide el promedio de los errores al cuadrado, es decir, la diferencia entre el estimador y lo que se estima . La diferencia se produce debido a la aleatoriedad o porque el estimador no tiene en cuenta la información que podría producir una estimación más precisa.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS CONSISTE EN OBTENER UN INTERVALO DE EXTREMOS CERRADOS NIVEL DE CONFIANZA

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDO.

APLICACIÓN AL TRABAJO SOCIAL ORGANIZAR SISTEMATIZAR ANALIZAR PAPEL FUNDAMENTAL INVESTIGACIÓN SOCIAL.

REFERENCIAS   BIBLIOGRAFICAS.

HIRI NICOLE CURSO: ESTADÍSTICA SOCIAL II PROFESOR: CCESA DEMETRIO AÑO: 2015.

ALEATORIO:

Aleatorio se refiere a aquello que es relativo o depende del azar, lo que no se puede predecir. Es una palabra que deriva del latín aleatorius, y significa “juego de azar”, “azar”, “suerte”.

Algunos sinónimos que se pueden emplear con respecto al término aleatorio son: fortuito, casual, aventurado, incierto, azaroso. En inglés, la traducción que se puede emplear para la palabra aleatorio es random.

Cabe mencionar que el término aleatorio se acostumbra a emplear en todo aquello que se relacione a los juegos del azar, de ahí que sus sinónimos también indiquen lo fortuito o incierto.

Por ejemplo, en los juegos de cartas la repartición de éstas es aleatoria y por tanto es incierto para cada jugador cuán bien o mal le puede ir y  venir.

SUCESOS:

Un suceso es una afirmación referente a los resultados de un experimento aleatorio. Como veremos en los siguientes ejemplos, puede entenderse un suceso como un subconjunto del espacio muestral, formado por los resultados del experimento para los que el suceso es cierto.

Una vez realizado el experimento, de un suceso se dice que ocurre (se verifica) o que no ocurre (no se verifica). Un suceso   ocurre cuando el resultado del experimento, w, está en A.

Los sucesos se clasifican en

• elementales ( , con un solo resultado)
• compuestos (unión de varios elementales).

Se llama suceso seguro al que consta de todos los sucesos elementales,   y suceso imposible al que no tiene ningún elemento del espacio muestral, se denota por  . El suceso seguro ocurre siempre, y el suceso imposible no ocurre nunca.

Por ejemplo,

• Del experimento "lanzar un dado" obtenemos un espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Veamos algunos sucesos:

obtener un número par = { 2, 4, 6}	obtener un 2 = {2}
obtener un n�mero primo = {1, 2, 3, 5}

• Del experimento "sacar una carta de una baraja española" obtenemos un espacio muestral formado por las 40 cartas. Algunos sucesos se muestran en la siguiente figura:

salir oros = salir espada y figura =

Operaciones entre sucesos: los sucesos son subconjuntos del espacio muestral, entonces, se unen, se cortan o se complementan del mismo modo que los subconjuntos de cualquier conjunto. En concreto,

• Unión de sucesos:  , serán los resultados del experimento que están en A o en B.

Por ejemplo, si A={salir par al lanzar un dado} = {2, 4, 6} y B={salir múltiplo de 3 al lanzar un dado} = {3, 6},

entonces A U B= {2, 3, 4, 6}

·         Intersección de sucesos:  , serán los puntos que son de A y de B.

Por ejemplo, si A={salir par al lanzar un dado} = {2, 4, 6} y B={salir múltiplo de 3 al lanzar un dado} = {3, 6},

entonces  = {6}

• Complementación,  , son los puntos que no están en A.

Por ejemplo, si A={salir par al lanzar un dado} = {2, 4, 6} y B={salir múltiplo de 3 al lanzar un dado} = {3, 6},

entonces,  = {salir impar}= {1, 3, 5} y  ={ 1, 2, 4, 5}

• Diferencia de sucesos,  , puntos de A que no son de B.

Si A={Salir Oros} y B={Salir una Figura}. Entonces, A-B son los "Oros" que no son figuras, es decir,

En la hoja de cáculo sucesos.xls puedes ver una ilustración de las operaciones entre sucesos.

Relaciones entre sucesos:

• Inclusión,  , si todos los puntos de A están en B.

Por ejemplo, si A={salir número impar al lanzar un dado}={1,3,5} y B={salir número primo al lanzar un dado}={1,2,3,5}, se tiene que  .

• Incompatibilidad de sucesos, o sucesos disjuntos,  si carecen de elementos comunes.

Por ejemplo, si A={obtener un número menor de 2}= {1,2} y B={obtener un número que sea múltiplo de 3}={3,6}, entonces , es decir, no tienen elementos comunes o ambos son incompatibles.

 DISTRIBUCION:

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, una distribución de probabilidades puede comprenderse como una frecuencia teórica, ya que describe cómo se espera que varíen los resultados.

Distribuciones de variable discreta

Gráfica de distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad solo toma valores positivos en un conjunto de valores de ${\displaystyle X}$  finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)}$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde ${\displaystyle -\infty }$  hasta el valor ${\displaystyle x}$ .

Tipos de distribuciones de variable discreta

Definidas sobre un dominio finito

·        La distribución binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados binarios, es decir, de "sí" o "no", todos ellos con probabilidad de acierto p y probabilidad de fallo q = 1 − p.

·        La distribución de Bernoulli, la clásica binomial, que toma valores "1", con probabilidad p, o "0", con probabilidad q = 1 − p (ensayo de Bernoulli).

·        La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidad 1/2 cada uno.

·        La distribución beta-binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no", cada uno de ellos con una probabilidad de acierto variable definida por una beta.

·        La distribución degenerada en x0, en la que X toma el valor x0 con probabilidad 1. A pesar de que no parece una variable aleatoria, la distribución satisface todos los requisitos para ser considerada como tal.

·        La distribución uniforme discreta, que recoge un conjunto finito de valores que son resultan ser todos igualmente probables. Esta distribución describe, por ejemplo, el comportamiento aleatorio de una moneda, un dado, o una ruleta de casino equilibrados -sin sesgo-.

·        La distribución hipergeométrica, que mide la probabilidad de obtener x (0 ≤ x ≤ d) elementos de una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población sin reemplazo.

·        La distribución hipergeométrica no central de Fisher.

·        La distribución hipergeométrica no central de Wallenius.

·        La ley de Benford, que describe la frecuencia del primer dígito de un conjunto de números en notación decimal.

REFERENCIA   BIBLIOGRAFICA:

·         Esta página se editó por última vez el 31 ago 2018 a las 21:21.

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